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%     Copyright (C) 2020 Zaiwen Wen, Haoyang Liu, Jiang Hu
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%     This program is free software: you can redistribute it and/or modify
%     it under the terms of the GNU General Public License as published by
%     the Free Software Foundation, either version 3 of the License, or
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%     along with this program.  If not, see <http://www.gnu.org/licenses/>.
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% Change log:
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%   2020.2.24 (Jiang Hu):
%     First version
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%   2020.7.14 (Jiang Hu):
%     Parameter tuning
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%% 随机梯度下降算法
% 考虑优化问题：
%
% $$ \displaystyle \min_{x\in\mathcal{R}^n}f(x)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^Nf_i(x). $$
%
% 随机梯度下降法（SGD）等概率地抽取选取一个或一组样本 $s_k\subset \{1,2,\dots,N\}$，并使用如下迭代更新格式：
%
% $$ x^{k+1}=x^k-\alpha_k\nabla f_{s^k}(x^k). $$
%
% 其中， $\nabla f_{s^k}(x^k)=\frac{1}{|s_k|}\sum_{i\in s_k}\nabla f_i(x^k)$。 
%
% 动量方法在随机梯度下降法基础上引入一个动量变量 $v$，每次迭代时，利用当前点处的梯度对动量进行更新，
% 然后以动量作为一步迭代的增量。动量方法的迭代格式如下：
%
% $$ \begin{array}{rl}
% \displaystyle v^{k+1}&\hspace{-0.5em}=\mu_kv^k-\alpha_k\nabla f_{s^k}(x^k), \\
% \displaystyle x^{k+1}&\hspace{-0.5em}=x^k+v^{k+1}.
% \end{array} $$
%
%% 初始化和迭代准备
% 输入信息：迭代初始值 |x0| ，数据集大小 |N| ，样本梯度计算函数 |pgfun| ，目标函数值与梯度计算函数
% |fun| 以及提供算法参数的结构体 |opts| 。
%
% 输出信息：迭代得到的解 |x| 和包含迭代信息的结构体 |out| 。
%
% * |out.fvec| ：迭代过程中的目标函数值信息
% * |out.nrmG| ：迭代过程中的梯度范数信息
% * |out.epoch| ：迭代过程中的时期 (epoch)信息。
function [x,out] = sgd(x0,N,pgfun,fun,opts)
%%%
% 从输入的结构体 |opts| 中读取参数或采取默认参数。
%
% * |opts.maxit| ：最大迭代次数
% * |opts.alpha| ：初始步长
% * |outs.step_type| ：步长衰减的类型
% * |outs.batchsize| ：随机算法的批量大小
% * |outs.momentum| ：是否采用动量
% * |outs.mu| ：动量的系数
% * |opts.verbose| ：不为 0 时输出每步迭代信息，否则不输出
if ~isfield(opts, 'maxit'); opts.maxit = 5000; end
if ~isfield(opts, 'alpha'); opts.alpha = 1e-2; end
if ~isfield(opts, 'step_type'); opts.step_type = 'fixed'; end
if ~isfield(opts, 'batchsize'); opts.batchsize = 10; end
if ~isfield(opts, 'momentum');  opts.momentum = 1; end
if ~isfield(opts, 'mu');  opts.mu = 0.9; end
if ~isfield(opts, 'verbose'); opts.verbose = 1; end
%%%
% 以 |x0| 为迭代初始点。
% 计算初始点处的目标函数值和梯度，记初始时期为 0。
x = x0;
out = struct();
[f,g] = fun(x);
out.fvec = f;
out.nrmG = norm(g,2);
out.epoch = 0;

%%%
% $v$ 为动量。
if opts.momentum
    v = zeros(size(x));
end

%%%
% 用于计算时期 (epoch) .
count = 1;
%% 迭代主循环
% SGD 的迭代循环，以 |opts.maxit| 为最大迭代次数。
for k = 1:opts.maxit
    %%%
    % 等概率地从 $\{1,2,\dots,N\}$ 中选取批量 $s_k$ 记录在 |idx| 之中，批量大小为
    % |opts.batchsize|。计算对应的样本的梯度。
    idx = randi(N,opts.batchsize,1);
    g = pgfun(x,idx);
    %%%
    % 选取步长，具体见辅助函数。
    alpha = set_step(k,opts);
    %%%
    % 如果采用带动量的随机梯度下降法（也就动量法），则其迭代格式为
    %
    % $$ \begin{array}{rl}
    %   v^{k+1}&\hspace{-0.5em}=\mu_kv^k-\alpha_k\nabla f_{s^k}(x^k), \\
    %   x^{k+1}&\hspace{-0.5em}=x^k+v^{k+1}.
    % \end{array}$$
    %
    % 否则，采用标准的随机梯度下降法，即 $x^{k+1}=x^k+v^{k+1}$。
    if opts.momentum
        v = opts.mu*v - alpha*g;
        x = x + v;
    else
        x = x - alpha*g;
    end
    %%%
    % 每当参与迭代的总样本次数超过数据集的总样本时，记为一个时期 (epoch)。
    % 每一个时期，记录当前的目标函数值和梯度范数，并令时期计数增加 1。
    if k*opts.batchsize/N >= count
        [f,g] = fun(x);
        out.fvec = [out.fvec; f];
        out.nrmG = [out.nrmG; norm(g,2)];
        out.epoch = [out.epoch; k*opts.batchsize/N];
        count = count + 1;
    end
end
end
%% 辅助函数
% 不同的步长选择，根据 |opts.step_type| 的不同分别为：
%
% * |'fixed'|： $\alpha_k=\alpha_0$
% * |'diminishing'|： $\alpha_k=\displaystyle\frac{\alpha_0}{1+\alpha\lambda k}$
% * |'hybrid'|： $\alpha_k=\displaystyle\frac{\alpha}{1+40\lambda\min\{100,k\}}$
%
function a = set_step(k, opts)
type = opts.step_type;
lambda = 0.1;
thres_dimin = 100;
if strcmp(type, 'fixed')
    a = opts.alpha;
elseif strcmp(type, 'diminishing')
    a = opts.alpha / (1 + opts.alpha*lambda*k);
elseif strcmp(type, 'hybrid')
    if k < thres_dimin
        a = opts.alpha / (1 + 40*lambda*k);
    else
        a = opts.alpha / (1 + 40*lambda*thres_dimin);
    end
else
    error('unsupported type.');
end
end
%% 参考页面
% 在页面 <demo_lr_sg.html 实例：利用随机算法求解逻辑回归问题> 
% 中，我们展示了该算法的一个应用，并且与其它随机算法进行比较。
%
% 其它随机算法参见： <Adagrad.html AdaGrad>、
% <RMSProp.html RMSProp>、 <AdaDelta.html AdaDelta>、 <Adam.html Adam>。
%
% 此页面的源代码请见： <../download_code/stograd/sgd.m sgd.m>。
%% 版权声明
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